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向量的点乘
向量的点乘也叫向量的内积(inner product)，两个向量的点乘是一个标量。
点乘的定义
设有维向量 和 ，记 和 的点乘为 ：
或者我们可以用矩阵乘法去看 和 的点乘：
点乘的性质
- 由点乘的定义和乘法交换律可知点乘满足交换律：
- 由点乘的定义和乘法分配律可知点乘满足分配律：
- 点乘是双线性算子，对于标量，满足：
点乘的几何意义
在讨论任意两个向量的点乘前，我们首先讨论二维单位向量的点乘。
二维单位向量是在单位圆上的一个向量。记单位向量与x轴正方向的夹角为，有
记另一单位向量与x轴正方向的夹角为，有
根据点乘的定义，有：
其中有，于是我们得知二维单位向量的点乘结果等于它们夹角的 cos 值。
所以当时，意味着和垂直
接下来我们讨论任意二维向量的点乘的几何意义。已知结论是二维单位向量的点乘结果等于夹角的 cos 值，比较直观的思路是对任意二维向量和单位化后进行点乘：
注意到 和 实际上是一个标量，由点乘的性质3可知第一个等号成立。因为和单位化后方向不变，仍是和的夹角。移项得：
在讨论二维向量点乘的几何意义后，接下来我们继续讨论维向量点乘的几何意义。与讨论二维的情况类似，我们首先考虑维单位向量的点乘。
维单位向量是在维单位超球上的向量。对于两个进行点乘的维单位向量，我们可以过这两个向量作出一个平面，并且在该平面上以任意方式规定相互垂直的x轴和y轴，那么就把维单位向量的点乘转换为维单位向量的点乘。
即对任意维向量，我们可以对向量进行单位化后进行点乘，得到的结果与公式(1)一致，移项得到公式(2)。
Schwarz 不等式
由：
得到 Schwarz 不等式：
- 作者:MuggleLego
- 链接:https://mugglego.top/article/product
- 声明:本文采用 CC BY-NC-SA 4.0 许可协议，转载请注明出处。