矩阵乘法的意义

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线性方程组与系数矩阵

假设现在有这样的一个方程组：

其中未知数是，那么我们按照对应位置，照抄方程组中的系数，就可以得到系数矩阵

公式（1）的线性方程组可以等价地记为：

对比公式（1）和公式（2），不难发现是矩阵 A 中列向量的线性组合：

也就是说，如果一个线性方程组有解，那么线性方程组中常数项组成的向量必为系数矩阵的列向量的线性组合！

矩阵的基本操作

在简单介绍矩阵是什么、以及矩阵列向量的线性组合后，我们介绍矩阵的基本操作。

以下假设有矩阵和矩阵，且和的行数和列数都一致。

加法：即将和中对应位置的每个元素相加。

数乘：假设有常数，矩阵的数乘即将中每个元素与相乘。

数乘具有加法分配律，即

乘法：假设是一个行列（以下简记为）的矩阵、是一个的矩阵，是一个的矩阵，且第行第列的元素:

🤯

是不是觉得公式（4）长得有点眼熟？实际上就是中第个行向量和中第个列向量的点乘。

转置：矩阵的转置矩阵的第行第列个元素是矩阵的第行第列个元素。。

公式（4）即为看待矩阵乘法的第一种角度，也是纯代数的一种角度，仅仅告诉我们如何计算两个矩阵相乘。接下来介绍关于矩阵乘法的运算律和看待矩阵乘法的其他角度。

矩阵乘法的运算律

结合律：

加法分配律：

交换律？不一定成立！对于任意矩阵和，不一定等于（但也不是一定不等）。具体的解释放到线性变换的章节中，以下举出一个反例以说明矩阵乘法不一定满足交换律：

矩阵与向量的乘法

假设给定列向量，给定一个矩阵，中的行向量分别为，列向量分别为，记。

从行的角度来看，将看作一个矩阵,从计算上我们不难发现中的分量，即：

从列的角度来看，我们还可以把看作中列向量的线性组合：

矩阵乘法

在这一部分介绍两种看待矩阵乘法的角度：矩阵左乘和矩阵右乘

我们首先来定义什么是左乘和右乘：对于一个矩阵，左乘的结果是，右乘的结果是。反过来我们也可以说右乘的结果是，左乘的结果是。

也就是说，由于矩阵乘法交换律在大部分情况下不成立，矩阵左乘和右乘矩阵的计算结果不一定一致。那么进一步地我们可能会想——左乘和右乘一个矩阵的意义是不是也不一样呢？答案是确实不一样！现阶段我们先从线性组合的角度去看左乘和右乘的区别，进一步的介绍留在线性变换的部分。

矩阵的右乘

假设现在右乘一个矩阵，记，我们将目光放在的列向量上。设是的第个列向量，刚刚我们介绍了用列的角度去看矩阵和向量的乘法，可以发现中的第个列向量就是中列向量的线性组合：

结论：矩阵右乘一个矩阵是对的列进行线性组合;矩阵中的列是的列向量的线性组合。

矩阵的左乘

假设现在左乘一个矩阵，记。我们刚刚已经介绍了矩阵右乘的意义，那么是否能将左乘转换为右乘呢？答案是当然可以，只需要将矩阵进行转置。

转置后有矩阵。

套上刚刚的结论：矩阵右乘一个矩阵是对的列进行线性组合;矩阵中的列是的列向量的线性组合。

上面这个说法是不是有点绕？如果我把的列“翻译”成矩阵的行，也许结论会更加清晰：

矩阵左乘一个矩阵是对的行进行线性组合;矩阵中的行是的行向量的线性组合。

总结

最后我们来简短总结一下这篇博客的主要内容：

矩阵可以被理解为一个线性方程组的系数

矩阵和向量的乘法可以理解为与矩阵的行向量做点乘，也可以理解为对矩阵的列做线性组合。

两个矩阵相乘后的矩阵中每个元素都是对应行和列的点乘。

矩阵右乘一个矩阵是在对的列做线性组合，左乘一个矩阵是在对的行做线性组合。